t()
t(x)는 행렬 x의 전치행렬(행과 열이 서로 바뀜)을 반환합니다.
> (x <- matrix(1:12, 3, 4));
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> t(x)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 2 3
[2,] 4 5 6
[3,] 7 8 9
[4,] 10 11 12
diag()
diag(x = 1, nrow, ncol, names = TRUE)는 대각행렬을 반환합니다.
> # 주대각선의 원소가 모두 1인(단위행렬) 3x3 대각행렬
> diag(3)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1
>
>
> # 주대각선의 원소가 모두 10인 3x4 대각행렬
> diag(10, 3, 4)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 10 0 0 0
[2,] 0 10 0 0
[3,] 0 0 10 0
>
>
> # 주대각선의 원소를 지정한 대각행렬
> diag(c(2, 5, 3, 1))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 0 0 0
[2,] 0 5 0 0
[3,] 0 0 3 0
[4,] 0 0 0 1
>
>
> # 행렬 x의 대각행렬
> (x = matrix(c(1,3,-2, 5, 7, -3, 1, 0, 1), 3, 3))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 1
[2,] 3 7 0
[3,] -2 -3 1
>
> diag(x)
[1] 1 7 1
> #> [1] 1 7 1
%*%
x %*% y는 행렬 x와 행렬 y의 곱셈 결과를 반환합니다.
> (x <- 1:4)
[1] 1 2 3 4
> (y <- diag(x))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 0 0 0
[2,] 0 2 0 0
[3,] 0 0 3 0
[4,] 0 0 0 4
> (z <- matrix(1:12, ncol = 3, nrow = 4))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 9
[2,] 2 6 10
[3,] 3 7 11
[4,] 4 8 12
> x %*% x
[,1]
[1,] 30
> y %*% z
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 9
[2,] 4 12 20
[3,] 9 21 33
[4,] 16 32 48
> y %*% x
[,1]
[1,] 1
[2,] 4
[3,] 9
[4,] 16
> x %*% z
[,1] [,2] [,3]
[1,] 30 70 110
outer()
outer(x, y, FUN = "*", ...)는 두 벡터 또는 배열의 외적(outer product)를 반환합니다. 외적이란 x에 y의 전치행렬을 곱한 결과입니다.
outer(x, y)는 x %*% t(y)와 동일하며, x%o%y와 동일합니다.
> (x <- 1:4)
[1] 1 2 3 4
> (y <- 5:8)
[1] 5 6 7 8
> outer(x, y)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 5 6 7 8
[2,] 10 12 14 16
[3,] 15 18 21 24
[4,] 20 24 28 32
> x %*% t(y)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 5 6 7 8
[2,] 10 12 14 16
[3,] 15 18 21 24
[4,] 20 24 28 32
> x%o%y
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 5 6 7 8
[2,] 10 12 14 16
[3,] 15 18 21 24
[4,] 20 24 28 32
outer(x, y, FUN = "*", ...)에서 FUN = "*"로 인해 곱셈을 합니다. 만일 기본값인 *을 +로 변경하면 덧셈을 하게 됩니다.
outer(x, y, FUN = "+")
#> [,1] [,2] [,3] [,4]
#> [1,] 6 7 8 9
#> [2,] 7 8 9 10
#> [3,] 8 9 10 11
#> [4,] 9 10 11 12
solve()
solve(a, b, ...)는 수식 a %*% x = b에서 x를 구하여 반환합니다. 만일 b를 지정하지 않으면 a의 역행렬을 반환합니다.
> (a <- matrix(c(1, 3, -2, 5, 7, -3, 1, 0, 1), 3, 3))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 1
[2,] 3 7 0
[3,] -2 -3 1
> (b <- c(2, -1, 1))
[1] 2 -1 1
# ax=b에서 x를 구하여 반환
> solve(a, b)
[1] -5 2 -3
# a의 역행렬을 반환환
> solve(a)
[,1] [,2] [,3]
[1,] -2.333333 2.666667 2.333333
[2,] 1.000000 -1.000000 -1.000000
[3,] -1.666667 2.333333 2.666667
rowSums()
rowSums(x, na.rm = FALSE, dims = 1)는 숫자를 담고 있는 2차원 이상의 배열 또는 데이터프레임 x의 행 합계를 반환합니다.
> (x <- matrix(c(1, 3, -2, 5, 7, -3, 1, 0, 1), 3, 3))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 1
[2,] 3 7 0
[3,] -2 -3 1
> rowSums(x)
[1] 7 10 -4> a <- 1:5
> b <- 1:5*2
> c <- 1:5*3
> df <- data.frame(a, b, c)
> df
a b c
1 1 2 3
2 2 4 6
3 3 6 9
4 4 8 12
5 5 10 15
> rowSums(df)
[1] 6 12 18 24 30
colSums()
colSums (x, na.rm = FALSE, dims = 1)은 숫자를 담고 있는 2차원 이상의 배열 또는 데이터프레임 x의 열 합계를 반환합니다.
> (x <- matrix(c(1, 3, -2, 5, 7, -3, 1, 0, 1), 3, 3))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 1
[2,] 3 7 0
[3,] -2 -3 1
>
> colSums(x)
[1] 2 9 2> a <- 1:5
> b <- 1:5*2
> c <- 1:5*3
> df <- data.frame(a, b, c)
> df
a b c
1 1 2 3
2 2 4 6
3 3 6 9
4 4 8 12
5 5 10 15
> colSums(df)
a b c
15 30 45
rowMeans()
rowMeans(x, na.rm = FALSE, dims = 1)는 숫자를 담고 있는 2차원 이상의 배열 또는 데이터프레임 x의 행 평균을 반환합니다.
> (x <- matrix(c(1, 3, -2, 5, 7, -3, 1, 0, 1), 3, 3))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 1
[2,] 3 7 0
[3,] -2 -3 1
> rowMeans(x)
[1] 2.333333 3.333333 -1.333333> a <- 1:5
> b <- 1:5*2
> c <- 1:5*3
> df <- data.frame(a, b, c)
> df
a b c
1 1 2 3
2 2 4 6
3 3 6 9
4 4 8 12
5 5 10 15
> rowMeans(df)
[1] 2 4 6 8 10
colMeans()
colMeans (x, na.rm = FALSE, dims = 1)은 숫자를 담고 있는 2차원 이상의 배열 또는 데이터프레임 x의 열 합계를 반환합니다.
> (x <- matrix(c(1, 3, -2, 5, 7, -3, 1, 0, 1), 3, 3))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 1
[2,] 3 7 0
[3,] -2 -3 1
> colMeans(x)
[1] 0.6666667 3.0000000 0.6666667a <- 1:5
b <- 1:5*2
c <- 1:5*3
df <- data.frame(a, b, c)
> df
a b c
1 1 2 3
2 2 4 6
3 3 6 9
4 4 8 12
5 5 10 15
> colMeans(df)
a b c
3 6 9
nrow(), ncol()
- nrow(x)는 행의 갯수를 반환합니다.
- ncol(x)는 열의 갯수를 반환합니다.
- NROW(x)는 행의 갯수를 반환합니다. (벡터 계산 가능)
- NCOL(x)는 열의 갯수를 반환합니다. (벡터 계산 가능)
> x <- matrix(1:12, 3, 4)
> nrow(x)
[1] 3
> ncol(x)
[1] 4
> NROW(x)
[1] 3
> NCOL(x)
[1] 4# 3행*4열의 3차원 배열
(x <- array(1:24, dim = c(3,4,2)))
, , 1
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
, , 2
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 13 16 19 22
[2,] 14 17 20 23
[3,] 15 18 21 24
> nrow(x)
[1] 3
> ncol(x)
[1] 4
NROW와 NCOL은 행렬이 아닌 벡터도 계산합니다.
> x <- 1:12
> x
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
> nrow(x)
NULL
> NROW(x)
[1] 12
> ncol(x)
NULL
> NCOL(x)
[1] 1
det()
det(x)는 행렬 x의 행렬식을 구하여 반환화며 행렬식은 정방행렬(nxn 행렬)인 경우에만 구할 수 있습니다.
det(abcd)=ad−bc
> (x <- matrix(1:4, nrow = 2))
[,1] [,2]
[1,] 1 3
[2,] 2 4
# det(x)= 4-6
> det(x)
[1] -2
eigen()
eigen(x, symmetric, only.values = FALSE, EISPACK = FALSE)는 행렬 x의 고유값과 고유벡터를 반환합니다.
고유값과 고유벡터는 행렬 A에 대하여 Av=λv 등식을 만족하는 상수와 열벡터입니다. 등식에서 v는 고유벡터이고 λ는 고유값입니다. 고유값과 고유벡터는 정방행렬(nxn 행렬)인 경우에만 구할 수 있습니다.
> (x <- matrix(1:4, nrow = 2))
[,1] [,2]
[1,] 1 3
[2,] 2 4
> eigen(x)
eigen() decomposition
$values
[1] 5.3722813 -0.3722813
$vectors
[,1] [,2]
[1,] -0.5657675 -0.9093767
[2,] -0.8245648 0.4159736
svd()
svd(x, nu = min(n, p), nv = min(n, p), LINPACK = FALSE)는 행렬 x의 특이값을 분해하여 그 결과를 반환합니다.
고유값 분해는 정방행렬(nxn 행렬)인 경우에만 가능합니다. 이를 직사각행렬(mxn행렬)에서도 가능하게 만든 것이 특이값 분해(SVD: Singular Value Decomposition)입니다.
M=UDVT
> x <- matrix(c(0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0,
+ 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0,
+ 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0,
+ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
+ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
+ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
+ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
+ 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0,
+ 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0,
+ 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0),
+ byrow = TRUE, nrow = 10)
> x
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,] 0 0 0 1 1 0 0 0
[2,] 1 0 0 1 1 0 0 0
[3,] 0 0 0 1 1 0 0 0
[4,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[5,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[6,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[7,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[8,] 0 0 0 1 1 0 0 0
[9,] 0 0 0 1 1 0 0 0
[10,] 0 0 0 1 1 0 0 0
> x_svd <- svd(x)
> x_svd
$d
[1] 6.058225e+00 2.752981e+00 8.479424e-01 2.837992e-16 2.472135e-31 4.470315e-33 1.644074e-49 5.913423e-67
$u
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,] -0.1528838 0.3846857 0.16924365 8.944272e-01 -7.181755e-16 -1.665335e-16 2.775558e-17
[2,] -0.2084981 0.3232415 -0.92306201 -2.775558e-16 -1.178737e-17 -9.028037e-18 -1.419001e-17
[3,] -0.1528838 0.3846857 0.16924365 -2.236068e-01 -8.636070e-01 -6.467614e-02 -3.128517e-16
[4,] -0.4581652 -0.1972304 0.03442185 5.551115e-17 -6.467614e-02 8.636070e-01 -2.668574e-16
[5,] -0.4581652 -0.1972304 0.03442185 0.000000e+00 2.155871e-02 -2.878690e-01 8.164966e-01
[6,] -0.4581652 -0.1972304 0.03442185 0.000000e+00 2.155871e-02 -2.878690e-01 -4.082483e-01
[7,] -0.4581652 -0.1972304 0.03442185 0.000000e+00 2.155871e-02 -2.878690e-01 -4.082483e-01
[8,] -0.1528838 0.3846857 0.16924365 -2.236068e-01 2.878690e-01 2.155871e-02 8.509008e-17
[9,] -0.1528838 0.3846857 0.16924365 -2.236068e-01 2.878690e-01 2.155871e-02 8.509008e-17
[10,] -0.1528838 0.3846857 0.16924365 -2.236068e-01 2.878690e-01 2.155871e-02 8.509008e-17
[,8]
[1,] -5.551115e-17
[2,] -1.613030e-18
[3,] 3.692398e-17
[4,] -1.669539e-16
[5,] -3.425598e-18
[6,] 7.071068e-01
[7,] -7.071068e-01
[8,] 4.651576e-18
[9,] 4.651576e-18
[10,] 4.651576e-18
$v
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,] -0.3369236 -0.1691548 -0.92621226 0.000000e+00 0.00000000 0.000000000 0.000000e+00 0.000000e+00
[2,] -0.3025079 -0.2865699 0.16237823 7.738866e-01 -0.44829478 0.011460724 0.000000e+00 0.000000e+00
[3,] -0.3025079 -0.2865699 0.16237823 -6.276730e-01 -0.63699402 0.016284849 0.000000e+00 0.000000e+00
[4,] -0.4631023 0.5295163 0.07175443 -3.885781e-16 0.01807139 0.706875820 -1.350320e-16 0.000000e+00
[5,] -0.4631023 0.5295163 0.07175443 -4.996004e-16 -0.01807139 -0.706875820 1.493668e-16 0.000000e+00
[6,] -0.3025079 -0.2865699 0.16237823 -4.873785e-02 0.36176293 -0.009248525 8.164966e-01 8.756053e-17
[7,] -0.3025079 -0.2865699 0.16237823 -4.873785e-02 0.36176293 -0.009248525 -4.082483e-01 -7.071068e-01
[8,] -0.3025079 -0.2865699 0.16237823 -4.873785e-02 0.36176293 -0.009248525 -4.082483e-01 7.071068e-01
# 특이값 벡터 d의 첫번째와 두번째 값을 이용하여 원래 행렬 구하기
> round(x_svd$u[,c(1,2)] %*% diag(x_svd$d[c(1,2)]) %*% t(x_svd$v[,c(1,2)]))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,] 0 0 0 1 1 0 0 0
[2,] 0 0 0 1 1 0 0 0
[3,] 0 0 0 1 1 0 0 0
[4,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[5,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[6,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[7,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[8,] 0 0 0 1 1 0 0 0
[9,] 0 0 0 1 1 0 0 0
[10,] 0 0 0 1 1 0 0 0
qr()
qr(x)은 행렬 x의 QR 분해결과를 반환합니다. QR분해는 행렬 A를 A=QR로 분해하는 것입니다. Q는 단위 노름 직교 벡터를 갖는 행렬이고, R은 상삼각행렬입니다.
> x <- matrix(c(1,2,3, 2,4,6, 3,3,3), nrow=3)
> x
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 2 3
[2,] 2 4 3
[3,] 3 6 3
> x_qr <- qr(x)
> x_qr
$qr
[,1] [,2] [,3]
[1,] -3.7416574 -4.810702 -7.483315
[2,] 0.5345225 1.963961 0.000000
[3,] 0.8017837 0.988693 0.000000
$rank
[1] 2
$qraux
[1] 1.267261 1.149954 0.000000
$pivot
[1] 1 3 2
attr(,"class")
[1] "qr"
scale()
scale(x, center = TRUE, scale = TRUE)는 행렬이나 벡터 x를 정규화(표준화)한 결과를 반환합니다. 옵션 center는 평균을 의미하며, scale은 표준편차를 의미합니다. x가 벡터일 경우 z=(x−u)/σ를 구해서 반환합니다. center가 FALSE이면 값에서 평균을 빼지 않으며, scale이 FALSE이면 표준편차로 나누지 않습니다.
# 1~9 벡터를 표준화하기 (평균을 빼고 표준편차로 나눔)
> (x <- 1:9)
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9
> scale(x)
[,1]
[1,] -1.4605935
[2,] -1.0954451
[3,] -0.7302967
[4,] -0.3651484
[5,] 0.0000000
[6,] 0.3651484
[7,] 0.7302967
[8,] 1.0954451
[9,] 1.4605935
attr(,"scaled:center")
[1] 5
attr(,"scaled:scale")
[1] 2.738613
x가 행렬일 경우에는 열을 기준으로 평균과 표준편차를 구한 후, 열 기준으로 표준화를 합니다.
> (x <- matrix(1:9, ncol = 3))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 2 5 8
[3,] 3 6 9
> scale(x)
[,1] [,2] [,3]
[1,] -1 -1 -1
[2,] 0 0 0
[3,] 1 1 1
attr(,"scaled:center")
[1] 2 5 8
attr(,"scaled:scale")
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